几小时探究数学之二次函数（三）

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本期所需知识

• 第一章的所有思想
• 第二章的两个公式
• 平移的定义

二次函数究极难题之——移来移去

咳咳，顾名思义，本章主要的内容是讲清楚二次函数的 位移性质 。要讲清这个，就得先从 位移的意思 讲起。

首先，“位移”十分好理解，意思就是 位置的移动 ，那么如何让一个二次函数 动起来 呢？让我们从梦开始的地方，也就是 最简单的二次函数：y = x² 开始。

《舌尖上的中国》有云：“高端的函数往往只需要最简单的图像（bushi）”，要动起来，运用 第一章 的知识，让它上下动，只需要让 每个点 都向上移动 几个单位长度就行了，所以只需要改变 c（常数项）的值 就行啦！好了，本张完结撒花（^_^）！

路人甲：哎？不是，等等，x 呢？

你觉得这很简单吗？

路人甲：当然不简单！

那就很好玩了，让我们继续玩……嗯，根据原来的思路，把图像看做无数个点 在横向移动时有一些难做……因为会有：y=ax²+bx，这个一次项（bx）不好处理，丝……似乎卡住了？

不不不，让我们回顾一下 位移 又可以被称为什么？没错！是 平移 ！那 平移 带来了什么性质呢？平移 是只改变图像的位置，而 不改变 形状、大小等。嗯……似乎有点眉目了。在第二章中，我们不难发现，二次项系数（a）决定了图像的 形状 ，也就是说在位移的时候a 是不变的 。嗯……那又有什么呢……有了！既然要保证 只改变位置 ，那我移 顶点 不就可以了？移动 函数图像 的顶点，不就完美解决了？

路人甲：天才！出院！等等，怎么 移动顶点……

移动顶点 ，其实要先让 图像 和顶点 挂起勾来。让我们回顾第二章……顺势就想到了二次函数的另一个表达方法——顶点式：y=a(x + k)²+c！那么，我们知道一定和这个东东有关，怎么移动呢……

纵坐标的移动已经 成功 ，只需要改变 c 的值 就行了，横坐标……就是让顶点的横坐标加上或减去一个值呗。

加一条函数图像：y=(x+5)²，发生了什么？函数图像 向左 偏移了……可是我们不是把 x 坐标加上了 一个值 ，为什么是向左偏？不应该 向右 吗？

嗯……让我们回顾一下顶点的定义，就是 当 y 值取到最值 的点，那么如果是 y=(x+5)²，是不是意味着，x 取到-5 的时候 y 取到 最小值 了？

路人甲：好像是哎……

所以我们实际上并不能直接改变 x 值，而是改变了它的 极值（最值），从而 间接的实现位移？我不知道啊，反正数学老师上课上到这里的时候我是这么理解的。（<_<）。

那就可以来整理一下思路了，首先，对于位移，我们要从 顶点 的角度出发，所以位移，就必须作用于 顶点式 。在 顶点式 上，要产生位移，分为 横着的 和竖着的 ：对于 横着的 ，我们要知道自己修改的是 极值 ，也就是当 括号里的东西 取到 0 的时候会取到 极值 ，那就好理解很多了，所以就产生了—— 左加右减 ，就是要 向左 平移，就在括号里 增加 一个数，向右 移动就 减少 ；对于 竖着的 ，我们就可以直接修改，也就是 上加下减，简单了！

路人甲：等等，亿个小问题。那如果题目给了 一般式 怎么办？那你不就 炸了吗？（O_O）

那还不简单？直接把 一般式化成顶点式 呗。具体方法……参考 几小时探究数学之二次函数（二）

好啦，这就是本期的全部内容！让我们……

小试牛刀

一个二次函数：y=4x²+4x+1，请求出此函数向左平移三个单位长度的函数表达式。

解：首先，他给的是 一般式 ，那么就 配方法 招待！配得：y=(2x+1)²，嗯……是 顶点式 了；之后……向左平移 ，心中默念：“ 左加右减，上加下减 ”，在 括号里 施展一些 仪式 ，就得到了y=(2x+1+3)²；合并 同类项：y=(2x+4)²。好啦，写上答，送走一道题。

番外

麓黎：终于结束啦！

路人甲：哎？这录音机怎么还开着……？

麓黎：关掉吧。

（声音信号结束）

今天累了，就不写菜单了，拜拜👋。